최대 정수 함수_{(r1 문단 편집)}

== 개요 ==
|| [math(\left\lfloor x \right\rfloor = \max \left\{n \in \mathbb{Z}: n \le x \right\})] ||
|| [math(\left\lfloor z \right\rfloor = \max \left\{n \in \mathbb{Z}: n \le \Re(z) \right\} + i(\max \left\{n \in \mathbb{Z}: n \le \Im(z) \right\}))][* 정의역이 [[복소수]]인 경우로, 실수부와 허수부에 각각 최대 정수 함수가 적용된 [[가우스 정수]]가 나온다.] ||
{{{+1 [[最]][[大]][[整]][[數]][[函]][[數]] / floor function}}}[* greatest integer function도 간혹 쓰인다.]

어떤 수 [math(x)]보다 크지 않은, 즉 [math(x)] 이하의 [[정수]] 중 가장 큰 정수. 일반적으로 [math(\left\lfloor x \right\rfloor)]로 표기하며, 일부는 대괄호를 이용하여 [math([x])]로 표기하기도 한다. 영어로는 floor function(바닥 함수[* 간혹 마루 함수]), greatest integer function(최대 정수 함수)이라고 한다. 한국과 일본 한정으로 대괄호 표기를 '가우스 기호'[* 가우스가 최대 정수 함수를 정의할 때 이 기호를 최초로 썼기 때문이다.][* [[수학의 정석]]에서는 가우스 기호라 부른다.]로 부르기도 하지만, 이는 어디까지나 구전적인 용례가 잦아지면서 굳어진 표현이므로 정식적인 용어가 아니다. 대한수학회에서는 최대 정수 함수와 가우스 함수 두 가지 이름을 채택했다. 표제어가 [[가우스 함수]]가 아닌 '최대 정수 함수'가 된 것은 가우스 함수가 [[정규 분포]]와 닮은 함수를 칭하는 데 쓰이기도 하기 때문이다(특히 영어로 Gaussian이라고 하면 무조건 최대 정수 함수가 아니라 정규 분포를 가리킨다).
[anchor(최소 정수 함수)]
이 함수와 짝꿍인 함수로 '''최소 정수 함수'''(least integer function)[* 천장 함수(ceiling function)라고도 한다.]가 있다. 기호로는 [math(\lceil x \rceil)] 또는 [math(]x[)]로 표기하며, [math(x)]보다 작지 않은, 즉 [math(x)] 이상의 정수 중 가장 작은 수를 의미하며, 수식으로 나타내면 다음과 같다.
|| [math(\lceil x \rceil = \min \left\{n \in \mathbb{Z}: n \ge x \right\})] ||
|| [math(\lceil z \rceil = \min \left\{n \in \mathbb{Z}: n \ge \Re(z) \right\} + i(\min \left\{n \in \mathbb{Z}: n \ge \Im(z) \right\}))][* 마찬가지로 실수부와 허수부에 각각 최소 정수 함수가 적용된 [[가우스 정수]]가 나온다.] ||

사실 고등학교를 넘어 학부 이상에서 수강하는 수학에서는 [math(\lfloor x \rfloor)], [math(\lceil x \rceil)] 표기가 주류이며, [math([x])], [math(]x[)] 표기는 구식이다. [math([x])]가 대중적인 이유는 아무래도 대중에게는 고등수학보다는 입시 중등수학[* 중고등학교 교육과정 하의 수학]을 접할 기회가 많기 때문이리라.

예를 들어 [math(\left\lfloor2.5\right\rfloor)]의 값을 구하여 보자. [math(2.5)]보다 크지 않은 정수 중 최대의 값은 [math(2)]이므로 [math(\left\lfloor2.5\right\rfloor=2)]이다. 음수의 경우를 예로 들어 보면 [math(\left\lfloor-3.5\right\rfloor)]의 경우 [math(-3.5)]보다 크지 않은 최대의 정수는 [math(-3)]이 아닌 [math(\bf-4)]이므로, [math(\left\lfloor-3.5\right\rfloor=-4)]이다. 양수일 때와는 달리 정수가 아닐 때 절댓값이 증가한다는 점에 주의해야 한다.

위 두 함수를 나타낸 그래프는 다음과 같다.
||<tablealign=center><#FFFFFF> [[파일:나무_최대정수함수.svg|width=160]] ||<#FFFFFF> [[파일:나무_최소정수함수.svg|width=160]] ||
||<#FFFFFF> [[파일:나무_최대정수함수_복소.svg|width=160]] ||<#FFFFFF> [[파일:나무_최소정수함수_복소_수정.svg|width=160]] ||
|| [math(y = \lfloor x \rfloor)] || [math(y = \lceil x \rceil)] ||

요약

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